关于微积分的思考—回顾中学数学

数学算法俱乐部

日期：2020年03月26日

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来源：龚昇

 回顾中学数学 

 1. 百年前的讲演 

20 世纪已经过去，这是一个伟大的世纪。在这个世纪，数学得到了前所未有的迅猛发展。在这个世纪即将来临时，1900 年8 月5 日，法国数学家希尔伯 特(David Hilbert 1862-1943)在巴黎第二次国际数学家大会上作了题为“数学 问题”的著名讲演【1】。这是一个载入史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语 中，对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等，发表了许多精辟的见解，而 整个讲演的主体，则是他根据十九世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题。这些问题涉及现代数学的大部分重要领域。一百多年来，这些问题 一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。到现在为止，这些问题近一半已经解决或 基本解决，但还有些问题虽已取得重大进展，而未最后解决，如:Riemann猜想，Goldbach猜想等。

对Hilbert 在1900 年提出的23 个问题，现在回过头来看，有不少评论，但 是很多人认为:这些问题，对推动20 世纪数学的发展起了很大的作用，当然也 有评论说其不足之处，例如这23 个问题中未能包括拓扑、微分几何等在20 世纪 成为前沿学科领域中的数学问题;除数学物理外很少涉及应用数学等等。当然更 不会想到20 世纪电脑的大发展及其对数学的重大影响。20世纪数学的发展实际 上是远远超出了Hilbert 问题预示的范围。

D. Hilbert是19世纪和20世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一。另外二位是:庞加莱(Henri Poincaré, 1854-1912)及克莱因(Felix Klein，1849 -1925)。他们的数学思想及对数学的贡献，既反射出19 世纪数学的光辉，也照 耀着20 世纪数学前进的道路。Hilbert 在1900 年作此讲演时，年仅38 岁，但已 经是当时举世公认的德高望重的三位领袖数学家之一。

D.Hilbert 是在上一个世纪，新旧世纪交替之际作的讲演，现在又一个新 的世纪开始了，再来看看他的讲演，其中一些话，现在仍然适用。例如在讲演一 开始，他说:“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们 这门科学发展的前景和奥秘呢?我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特 殊目标?在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果?”他还接着说:“历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个 时代都有自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到 一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追溯过去，而 且把我们的思想引向那未知的将来。”

20 世纪无疑是一个数学的伟大时代。21 世纪的数学将会更加辉煌。“每个 时代都有它自己的问题”。20 世纪来临时，Hilbert提出了他认为是那个世纪的23 个问题。这些问题对20 世纪的数学发展起了很大的推动作用，但20 世纪数学的 成就却远远超出他所提出的问题。那末，21世纪的问题又是什么呢?在这个新、 旧世纪之交，也有不少杰出的数学家提出了他们认为是21 世纪的数学问题，但 往往是“仁者见仁，智者见智”。到现在为止，所有提出的这些问题，还没有一 些像Hilbert 当时提出的23 个问题那样为大家所普遍接受。

对Hilbert的23 个问题，不在这里介绍了，有兴趣的读者可参阅李文林的著 作【2】。但百年前，Hilbert讲演中对数学的一些见解都是非常深刻的。百年过去 了，重读他的讲演，依然得到很多启示。当然不可能在此对他的讲演中各个部分 都来阐述自己的体会，只想讲一点他说的其中一段话自己的粗浅认识。

从17 世纪60 年代，微积分发明以来，数学得到了极大的发展，分支愈来 愈多。开始时一些大数学家，对各个分支都懂，并做出了很多重大贡献，但后来 数学的分支愈分愈细，全面懂得各个分支的数学家愈来愈少。到19 世纪末，Hilbert 做讲演时，已经是这种情况。于是在讲演中，他说了这样一段话:“然而，我们 不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部 门岂不是变得不可能了吗?为了回答这个问题，我想指出:数学中每一步真正的 进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同 时会有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。数学科学发展 的这种特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些 有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其它科学更容易地 找到前进的道路”。一百多年过去了，数学发展得更为广阔与深入，分支愈来愈 多，现在数学已有60个二级学科，400 多个三级学科，更是不得了。，所以Hilbert 的上述这段话现在显得更为重要。不仅如此，Hilbert 的这段话实际上讲的是数学 发展的历史过程，十分深刻地揭示了数学发展是一个推陈出新、吐故纳新的过程，是一些新的有力的工具和更简单的方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃 的过程，是“高级”的数学替代“低级”的数学的过程，而“数学科学发展的这 种特点是根深蒂固的”。事实上，在数学的历史中，一些新的有力的工具和更简 单的方法的发现，往往标志着一个或多个数学分支的产生，是一些老的分支的衰 落甚至结束。

回顾一下我们从小开始学习数学的过程，就是在重复这个数学发展的过程。一些数学虽然后来被更有力的工具和更简单的方法所产生的新的数学所替代了， 即“低级”的被“高级”的所替代了，但在人们一生学习数学的过程中，却不能 只学习“高级”的，而完全不学习“低级”的，完全省略掉学习“低级”的过程。这是因为人们随着年龄的不断增长，学习与他的年龄与智力发育相当的数学才是 最佳选择，学习数学是一个循序渐进的过程，没有“低级”的数学打好基础，很 难理解与学习好“高级”的数学。

以下我们从Hilbert 讲演中的这一段精辟的论述的角度来认识我们的中小学 的数学课程，也只是从数学发展的历史的角度来讨论问题，这与教育的角度来考 虑问题，虽有联系，但是是不一样的。

 2. 算术与代数  

人类有数的概念，与人类开始用火一样古老，大约在三十万年前就有了，但是有文学记载的数字到公元前3400 年左右才出现，至于数字的四则运算则更晚。在我国，《九章算术》是古代数学最重要的著作，是从先秦到西汉中叶的众多学 者不断修改、补充而成一部数学著作，成书年代至迟在公元一世纪。这是一本问 题集形式的书，全书共246 个题，分成九章，包含十分丰富的内容，在这本书中 有分数的四则运算法则、比例算法、盈不足求、解三元线性代数方程组、正负数、 开方以及一些计算几何图形的面积与体积等。在西方，也或迟或早地出现了这些 内容，而这些内容包括了我们从小学一直到中学所学习“算术”课程的全部内容。也就是说，人类经过了几千年才逐渐弄明白起立起来的“算术”的内容，现在每 个人的童年时代花几年就全部学会了。

对于“算术”来讲，“真正的进展”是由于“更有力的工具和更简单的方法的发现”，这个工具与方法是“数字符号化”，从而产生了另一门数学“代数”，即现在中学中的“代数”课程的内容。在我国，这已是宋元时代(约13 世纪五、 六十年代)，当时的著作中，有“天元术”和“四元术”，也就是让未知数记作“天” 元，后来将二个、三个及四个未知数记作“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也 就是相当于现在用x、y、z、w 来表达四个未知数。有了这些“元”，也就可以 解一些代数方程与联立代数方程组了。在西方，彻底完成数学符号化是在16 世 纪。现在中学中学习的“代数”课程的内容，包括有一元二次方程的解，多元(一 般为二元、三元至多四元)联立方程的解等。当然，在“数学符号化”之前，一 元二次方程的解，多元联立方程的解是已经出现，例如我国古代已有一些解一般 数字系数的代数方程的“算法程序”，但这些都是用文字表达的，直到“数字符 号化”之后，才出现了现在中学代数内容的形式。

由“数字符号化”而产生的中学“代数”的内容，的的确确是“数学中真正的进展”。“代数”的确是“更有力的工具和更简单的方法”。“算术”顾名思义， 可以理解为“计算的技术与方法”，课程名称取为“算术”也许是从我国在古代 的《九章算术》而来，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数字符号化”。人类从“算术”走向“代数”经历了千年，但在中学的课程中，却只花 短短的几年就可以全部学会这些内容。

在这里，我要重复说一遍，尽管中学的“代数”比小学的“算术”来的“高级”，是“更有力的工具和更简单的方法”，但并不意味着小学的“算术”就可以 不必学了。这是因为:(1)“算术”中的一些内容不能完全被“代数”所替代，如 四则运算等;(2)即使是能被替代的内容，适当的学习一些，有利于对“代数”内 容的认识与理解;(3)从教育学的角度考虑，这里有循序渐进的问题，有学生不同 年龄段的接受能力的问题等等。

作为中学“代数”中的一个重要内容是解多元一次方程组。在中学“代数” 的教材中，一般着重讲二元或三元一次联立方程组，所用的方法是消元法，但是 如果变元为四个或更多时，就得另想办法来建立起多元一次联立方程组的理论。

经过很多年的努力，向量空间即线性空间，线性变换即矩阵的概念产生了，这不但给出了多元一次联立代数方程组的一般理论，而且由此建立起一门新的学科“线性代数”。这是又一次“数学中真正的进展”。由于“更有力的工具和更简单的方法”，即向量空间即线性空间，线性变换即矩阵的概念与方法的建立，不仅对多元一次联立代数方程组的理解更为清楚，更为深刻，且由于有了统一处理的 方法，可以把个别地处理方程组的方法“抛到一边”。当然“线性代数”的产生 还有些其它的因素，但解多元一次联立代数方程组是“线性代数”最重要，最生 动的模型，而“线性代数”的产生的确再次印证了Hilbert 所说的那段话。

在中学“代数”中另一重要内容是解一元二次方程。在古代，例如《九章算 术》中已有解一般一元二次方程的算法，后来有很多的发展，直到花拉子米(M. al-khowarizmi, 约783-850)给出了相当于一般形式的一元二次方程的一般的求根公式为 (但他不取负根和零根)。1545年由卡尔丹(G. Cardano, 1501-1576)公布了塔塔利亚(N. Fontana, 1499-1557)发现的解一元三次方程的解。而一元四次方程的解由费拉里(L. Ferrari, 1522-1556)所解决。于是当时大批的数学家致力于更高次方程的求根式 解，即企图只对方程的系数作加、减、乘、除和正整数次方根等运算来表达方程 的解。经过了二个世纪的努力，大批数学家都失败了，直到1770 年，拉格朗日(J. Lagrange, 1736-1813)看到了五次及高次方程不可能做到这点。又过了半个 世纪，1824年阿贝尔(N. Abel, 1802-1829)解决了这个问题，即对于一般的五 次和五次以上的方程求根式解是不可能的，但什么样的代数方程能根式可解，这 是伽罗瓦(E. Galois, 1811-1832)所解决。他证明了:方程根式可解当且仅当它 的Galois 群可解，当然在这里不解释什么是Galois 群，什么叫可解。Abel 与Galois 不仅解决了三百年来无法解决的著名难题，更重要的是:为了解决这个问题，他 们建立起了“域”与“群”的概念。这就意味着现代代数理论的产生。这是又一 次“数学中真正的进展”。它是由于“更有力的工具和更简单的方法”，即“域” 与“群”的发现而造成的。有了“域”，尤其是“群”以及后来发展起来的现代 代数理论，可以更清楚，更深刻地理解以往高次代数方程求根式解的问题，而的 确可以把以往那些“陈旧的，复杂的东西抛到一边”。从此翻开了数学崭新的一 页。

以“群”、“环”、“域”为基本内容与出发点的现代代数理论，在大学的课程 中的“近世代数”就是介绍这些内容的，这已成为现代数学中的基本内容与语言 之一，它们在历史上及现代数学中都有不可估量的作用。例如:1872 年由Klein提出的著名Erlanger Program, 即认为各种几何学所研究的实际上就是在各种变 换群下的不变量这个数学思想，是企图将以往看来关系不大的各种几何学用统一 的观点来认识与研究，不仅对几何学的发展，而且对整个数学的发展起了巨大的 作用。又例如:讨论了几千年的尺规作图问题，由于域论的出现而彻底解决。所 谓尺规作图问题，就是用无刻度直尺和圆规作出平面或立体图形，最为著名的如 古希腊三大几何作图问题。1.三等分角，即分任意角为三等分。2.倍立方体， 即作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。3.化圆为方，即作一个与 给定的圆面积相等的正方形。这些问题的提出是公元前5 世纪以来逐渐形成的， 也不知有多少人为之努力过而徒劳无功，而这些问题的彻底解决不过是域论中一 个基本而简单的结论的推论。

近世代数的来源与发展当然还有其它的因素，但Abel, Galois 的贡献无疑是 奠基性的。线性代数与近世代数之间有着深刻的联系。例如:线性代数所讨论的 一个线性变换作用在一个向量空间上成为近世代数中“模”的最基本的一个模型。

可以将本节所讨论的简略画一个图形如下:

— THE END —